26年WH数学与应用数学 勒贝格积分及其应用25.29-AI13.47-约8378字符.docx

摘 要勒贝格积分是实变函数论的核心内容，有效弥补了传统黎曼积分在函数可积范围、极限交换运算、空间完备性等方面的固有缺陷，是现代分析数学体系的重要理论基石。本文首先梳理黎曼积分的应用局限，引出勒贝格积分的建构背景，系统阐述勒贝格积分的严格定义、核心运算性质，及勒贝格积分的理论优越性。在此基础上，依次探究勒贝格积分在三大领域的关键应用：在傅里叶分析中，依托L2空间完备性完善傅里叶级数收敛理论；在泛函分析中依托积分刻画 Lp空间结构并求解其共轭空间；在概率论中，搭建测度与概率的对应关系， 以勒贝格积分为工具，严谨推导随机变量与期望公式...